Поступило в Редакцию 2 марта 2000 г. Рассмотрены осцилляции волнового числа в волновом пакете, возникающие при распространении радиоимпульса в диспергирующей среде, обнаруженные в результате численного исследования. Предложено объяснение этого
Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19 12 октября 01;09
”Осцилляции” римановых инвариантовсистем дифференциальныхгиперболических уравнений
©
Ю.Н. Зайко
Поволжская академия государственной службы, СаратовE-mail: pags@pags.renet.ru
Поступило в Редакцию 2 марта 2000 г.
Рассмотрены осцилляции волнового числа в волновом пакете, возникающиепри распространении радиоимпульса в диспергирующей среде, обнаруженныев результате численного исследования. Предложено объяснение этого явленияна основе использования уравнений нелинейной геометрической оптики
(
НГО
)
,для которых волновое число является римановым инвариантом и сохраняетсявдоль характеристик уравнений НГО. Осцилляции возникают в областитак называемого пересечения характеристик. Показано, что это пересечениеявляется следствием приближения, в котором пренебрегается взаимодействиемспектрально-узких волновых пакетов из спектра импульса друг с другом, а самихарактеристики являются прямыми. Учет этого взаимодействия приводит к тому,что характеристики не пересекаются, а их форма значительно отличается отпрямой, в результате чего внешний наблюдатель, движущийся с постояннойскоростью, многократно пересекает одну и ту же характеристику и наблюдаетосциллирующее поведение волнового числа.
К гиперболическим системам уравнений в частных производ-ных
(
ЧПУ
)
относятся уравнения, характеристики которых вещественныи различны. К такому типу принадлежат уравнения нелинейной геоме-трической оптики:
∂
k
∂
t
+
v
g
·
∂
k
∂
x
=
0
,∂
E
k
∂
t
+
∂ ∂
x
(
v
g
·
E
k
) =
0
,
(
1
)
k
= Φ
x
(
x
,
t
)
— волновое число,
v
g
=
∂ω/∂
k
— групповая скорость,
ω
=
−
Φ
t
(
x
,
t
)
— частота;
E
k
∼
a
2
k
— спектральная плотность энергии,
a
k
— амплитуда спектрально-узкого волнового пакета. Уравнения
(
1
)
84
”Осцилляции” римановых инвариантов...
85интересны и сами по себе и как хорошее приближение для описаниямногих систем, допускающих распространение волн. Одним из римано-вых инвариантов
(
РИ
) (
1
)
является
k
(
x
,
t
)
, которое сохраняется вдольхарактеристики, определяемой уравнением
dx
/
dt
=
v
g
. Одним из спо-собов решения гиперболических ЧПУ является интегрирование вдольхарактеристик. Напомним, что речь идет о нахождении решения
(
1
)
на плоскости
x
,
t
при начальном условии
k
(
x
,
t
=
0
) =
F
(
x
)
. Такойметод позволяет построить решение
(
1
)
вне области так называемогопересечения характеристик. Эта область на плоскости
x
,
t
ограниченакривой с особенностью в точке с координатами:
t
∗
=
v
g
·
∂
k
∂
x
t
=
0
−
1
,
x
∗
=
v
g
·
t
∗
.
(
2
)
В этой области обычное решение
(
1
)
становится неоднозначным, чтонедопустимо. Обычно поступают так:1. Строят разрывное решение
(
1
)
типа ударной волны без структуры,т.е. с нулевой шириной фронта. Распространение этого разрыва описы-вается некоторой кривой на плоскости
x
,
t
, начинающейся в точке
(
2
) [
1
]
.2. Дополняют
(
1
)
членами с высшими производными, отвечающими,например, учету вязкости в исходных уравнения. Тогда возникающаяударная волна имеет конечную ширину фронта, в пределах которогорешение осциллирует
[
2
]
.Однако перечисленные случаи не исчерпывают всего многообразиягиперболических ЧПУ. На рисунке представлены результаты расчетапрохождения импульса волны
H
10
с прямоугольной огибающей в метал-лическом волноводе
[
3
]
. Задача сводится к нахождению решения уравне-ния Клейна–Гордона с соответствующими граничными условиями. Этиуравнения не содержат высших производных, а решение осциллирует.Значит причина осцилляций в другом.Для объяснения причин такого поведения
k
(
x
,
t
)
или
ω
(
x
,
t
)
выделимв спектре импульса два спектрально-узких волновых пакета вблизи
k
1
и
k
2
и запишем нелинейные дисперсионные уравнения для них:
ω
1
=
ω
0
(
k
1
) +
σ
1
·
a
21
+
µ
1
·
a
21
·
a
22
+
...ω
2
=
ω
0
(
k
2
) +
σ
2
·
a
22
+
µ
2
·
a
22
·
a
21
+
...
(
3
)
Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19
86
Ю.Н. Зайко
Зависимость амплитуды
a
(
z
, τ
)
и волнового числа
k
(
z
, τ
)
для радиоимпуль-са
(
РИ
)
волны
H
10
с прямоугольной огибающей, распространяющегося впрямоугольном металлическом волноводе без затухания.
z
=
x
· |
k
(
ω
0
)
|
/
T
2
,
τ
= (
t
−
x
·
k
(
ω
0
))
/
T
;
x
,
t
— координата и время;
ω
0
,
T
— несущая частота РИ иего длительность;
k
0
=
k
(
ω
0
)
— решение дисперсионного уравнения. Параметрыимпульса:
(
π
·
z
· |
k
(
ω
0
)
|
)
1
/
2
=
0
.
14;
z
·
k
0
=
100;
z
·
k
0
/
T
=
0
.
1;
a
(
0
, τ
) =
1при
|
τ
| ≤
T
/
2;
a
(
0
, τ
) =
0 при
|
τ
|
>
T
/
2. Расчет выполнен во второмприближении теории дисперсии.
Члены
∼
σ
1
,
2
рассматривались Уиземом
[
1
]
, что привело к расще-плению характеристик
(
i
=
1
,
2
)
dxdt
=
v
g
(
k
i
)
±
σ
i
·
v
g
(
k
i
)
1
/
2
·
a
i
.
(
4
)
Члены
∼
µ
1
,
2
соответствуют учету взаимодействия спектрально-узких волновых пакетов и могут быть получены в рамках гамильтонов-ского формализма
[
4
]
с помощью вычисления двухчастичной функцииГрина
[
5
]
. Зависимостью величин
σ
и
µ
от
k
, как и в
[
1
]
, прене-брегаем, т.к. учет этой зависимости приведет лишь к их перенорми-ровке. Выражения
(
3
)
подставляем в
(
1
)
и ищем решение в виде
k
1
,
2
,
Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19
”Осцилляции” римановых инвариантов...
87
a
21
,
2
∼
exp
(
j
Ω
t
−
jqx
)
. В результате получаем
(
i
=
1
,
2
)
:
(
K
1
−
1
)
·
(
K
2
−
1
) =
4
µ
1
·
µ
2
·
a
21
·
a
22
σ
1
·
σ
2
;
K
i
=
1
σ
i
·
v
gi
·
V
−
v
gi
a
i
2
,
V
= Ω
q
.
(
5
)
Полученный результат говорит о том, что учет взаимодействияспектрально узких волновых пакетов приводит к непересечению харак-теристик. В формировании решения принимает участие много такихпакетов. В результате форма характеристики может значительно отли-чаться от прямой. Внешний наблюдатель, движущийся со скоростью
u
,которому на плоскости
x
,
t
соответствует прямая
dx
/
dt
=
u
, мно-гократно пересекает каждую характеристику, вдоль которой значение
k
(
x
,
t
)
— римановского инварианта, остается постоянным. Наблюдателюже кажется, что
k
(
x
,
t
)
”осциллирует” с частотой
f
=
T
·
v
2
g
·
∂
k
∂
x
t
=
0
·
x
∗
x
,
(
6
)
T
— длительность импульса
[
3
]
. Осцилляции параметров волн вразличных средах неоднократно обнаруживались различными авторами,исследовавшими решения волновых уравнений, как точные
[
6
]
, так ичисленные
[
7
]
, однако до сих пор им не удавалось найти физическогообъяснения.
Список литературы
[
1
]
Уизем Дж.
Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.622 с.
[
2
]
Карпман В.И.
Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука,1973. 176 с.
[
3
]
Зайко Ю.Н.
// Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 12. С. 1558–1560.
[
4
]
Захаров В.Е., Кузнецов Е.А.
// УФН. 1997. Т. 167. № 11. С. 1137–1167.
[
5
]
Каданов Л.П., Бейм Г.
Квантовая статистическая механика / Пер. с англ.М.: Мир. 1964. 255 с.
[
6
]
Шварцбург А.Б.
// УФН. 1998. Т. 168. № 1. С. 85–103.
[
7
]
Вербин Ю.П.
// РЭ. 1995. Т. 40. № 8. C. 1169–1176.
Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19