Осцилляции римановых инвариантов систем дифференциальных гиперболических уравнений

  Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19 12 октября 01;09  ”Осцилляции” римановых инвариантовсистем дифференциальныхгиперболических уравнений  ©   Ю.Н. Зайко  Поволжская академия государственной службы, СаратовE-mail: pags@pags.renet.ru Поступило в Редакцию 2 марта 2000 г. Рассмотрены осцилляции волнового числа в волновом пакете, возникающиепри распространении радиоимпульса в диспергирующей среде, обнаруженныев результате численного исследования. Предложено объяснение этого явленияна основе использования уравнений нелинейной геометрической оптики  ( НГО ) ,для которых волновое число является римановым инвариантом и сохраняетсявдоль характеристик уравнений НГО. Осцилляции возникают в областитак называемого пересечения характеристик. Показано, что это пересечениеявляется следствием приближения, в котором пренебрегается взаимодействиемспектрально-узких волновых пакетов из спектра импульса друг с другом, а самихарактеристики являются прямыми. Учет этого взаимодействия приводит к тому,что характеристики не пересекаются, а их форма значительно отличается отпрямой, в результате чего внешний наблюдатель, движущийся с постояннойскоростью, многократно пересекает одну и ту же характеристику и наблюдаетосциллирующее поведение волнового числа. К гиперболическим системам уравнений в частных производ-ных  ( ЧПУ  )  относятся уравнения, характеристики которых вещественныи различны. К такому типу принадлежат уравнения нелинейной геоме-трической оптики: ∂  k  ∂  t  +  v g · ∂  k  ∂   x =  0 ,∂   E  k  ∂  t  +  ∂ ∂   x ( v g ·  E  k  ) =  0 ,  ( 1 ) k   = Φ  x (  x , t  )  — волновое число,  v g  =  ∂ω/∂  k   — групповая скорость, ω  =  − Φ t  (  x , t  )  — частота;  E  k   ∼ a 2 k   — спектральная плотность энергии, a k   — амплитуда спектрально-узкого волнового пакета. Уравнения  ( 1 ) 84  ”Осцилляции” римановых инвариантов...  85интересны и сами по себе и как хорошее приближение для описаниямногих систем, допускающих распространение волн. Одним из римано-вых инвариантов  ( РИ ) ( 1 )  является  k  (  x , t  ) , которое сохраняется вдольхарактеристики, определяемой уравнением  dx / dt   =  v g . Одним из спо-собов решения гиперболических ЧПУ является интегрирование вдольхарактеристик. Напомним, что речь идет о нахождении решения  ( 1 ) на плоскости  x , t   при начальном условии  k  (  x , t   =  0 ) =  F  (  x ) . Такойметод позволяет построить решение  ( 1 )  вне области так называемогопересечения характеристик. Эта область на плоскости  x , t   ограниченакривой с особенностью в точке с координатами: t  ∗ =  v  g ·  ∂  k  ∂   x  t  = 0  − 1 ,  x ∗ =  v g · t  ∗ .  ( 2 ) В этой области обычное решение  ( 1 )  становится неоднозначным, чтонедопустимо. Обычно поступают так:1. Строят разрывное решение  ( 1 )  типа ударной волны без структуры,т.е. с нулевой шириной фронта. Распространение этого разрыва описы-вается некоторой кривой на плоскости  x , t  , начинающейся в точке  ( 2 ) [ 1 ] .2. Дополняют  ( 1 )  членами с высшими производными, отвечающими,например, учету вязкости в исходных уравнения. Тогда возникающаяударная волна имеет конечную ширину фронта, в пределах которогорешение осциллирует  [ 2 ] .Однако перечисленные случаи не исчерпывают всего многообразиягиперболических ЧПУ. На рисунке представлены результаты расчетапрохождения импульса волны  H  10  с прямоугольной огибающей в метал-лическом волноводе  [ 3 ] . Задача сводится к нахождению решения уравне-ния Клейна–Гордона с соответствующими граничными условиями. Этиуравнения не содержат высших производных, а решение осциллирует.Значит причина осцилляций в другом.Для объяснения причин такого поведения  k  (  x , t  )  или  ω (  x , t  )  выделимв спектре импульса два спектрально-узких волновых пакета вблизи  k  1 и  k  2  и запишем нелинейные дисперсионные уравнения для них: ω 1  =  ω 0 ( k  1 ) + σ 1 · a 21  + µ 1 · a 21 · a 22  + ...ω 2  =  ω 0 ( k  2 ) + σ 2 · a 22  + µ 2 · a 22 · a 21  + ...  ( 3 ) Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19  86  Ю.Н. Зайко  Зависимость амплитуды  a (  z , τ  )  и волнового числа  k  (  z , τ  )  для радиоимпуль-са  ( РИ )  волны  H  10  с прямоугольной огибающей, распространяющегося впрямоугольном металлическом волноводе без затухания.  z  =  x  · | k   ( ω 0 ) | / T  2 , τ   = ( t  −  x · k   ( ω 0 )) / T  ;  x ,  t   — координата и время;  ω 0 ,  T   — несущая частота РИ иего длительность;  k  0  =  k  ( ω 0 )  — решение дисперсионного уравнения. Параметрыимпульса:  ( π  ·  z  · | k   ( ω 0 ) | ) 1 / 2 =  0 . 14;  z  ·  k  0  =  100;  z  ·  k   0 / T   =  0 . 1;  a ( 0 , τ  ) =  1при  | τ  | ≤  T  / 2;  a ( 0 , τ  ) =  0 при  | τ  |  >  T  / 2. Расчет выполнен во второмприближении теории дисперсии. Члены  ∼ σ 1 , 2  рассматривались Уиземом  [ 1 ] , что привело к расще-плению характеристик  ( i  =  1 , 2 ) dxdt  =  v g ( k  i ) ±  σ i · v  g ( k  i )  1 / 2 · a i .  ( 4 ) Члены  ∼ µ 1 , 2  соответствуют учету взаимодействия спектрально-узких волновых пакетов и могут быть получены в рамках гамильтонов-ского формализма  [ 4 ]  с помощью вычисления двухчастичной функцииГрина  [ 5 ] . Зависимостью величин  σ  и  µ  от  k  , как и в  [ 1 ] , прене-брегаем, т.к. учет этой зависимости приведет лишь к их перенорми-ровке. Выражения  ( 3 )  подставляем в  ( 1 )  и ищем решение в виде  k  1 , 2 , Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19  ”Осцилляции” римановых инвариантов...  87 a 21 , 2  ∼ exp (  j Ω t  −  jqx ) . В результате получаем  ( i  =  1 , 2 ) : ( K  1 − 1 ) · ( K  2 − 1 ) =  4 µ 1 · µ 2 · a 21 · a 22 σ 1 · σ 2 ; K  i  =  1 σ i · v  gi ·  V   − v gi a i  2 ,  V   = Ω q .  ( 5 ) Полученный результат говорит о том, что учет взаимодействияспектрально узких волновых пакетов приводит к непересечению харак-теристик. В формировании решения принимает участие много такихпакетов. В результате форма характеристики может значительно отли-чаться от прямой. Внешний наблюдатель, движущийся со скоростью  u ,которому на плоскости  x , t   соответствует прямая  dx / dt   =  u , мно-гократно пересекает каждую характеристику, вдоль которой значение k  (  x , t  )  — римановского инварианта, остается постоянным. Наблюдателюже кажется, что  k  (  x , t  )  ”осциллирует” с частотой  f   =  T   · v 2 g ·  ∂  k  ∂   x  t  = 0 ·  x ∗  x ,  ( 6 ) T   — длительность импульса  [ 3 ] . Осцилляции параметров волн вразличных средах неоднократно обнаруживались различными авторами,исследовавшими решения волновых уравнений, как точные  [ 6 ] , так ичисленные  [ 7 ] , однако до сих пор им не удавалось найти физическогообъяснения. Список литературы [ 1 ]  Уизем Дж.  Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.622 с. [ 2 ]  Карпман В.И.  Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука,1973. 176 с. [ 3 ]  Зайко Ю.Н. // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 12. С. 1558–1560. [ 4 ]  Захаров В.Е., Кузнецов Е.А.  // УФН. 1997. Т. 167. № 11. С. 1137–1167. [ 5 ]  Каданов Л.П., Бейм Г.  Квантовая статистическая механика / Пер. с англ.М.: Мир. 1964. 255 с. [ 6 ]  Шварцбург А.Б.  // УФН. 1998. Т. 168. № 1. С. 85–103. [ 7 ]  Вербин Ю.П.  // РЭ. 1995. Т. 40. № 8. C. 1169–1176. Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып. 19